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Resolver

1)(x + 5)² =                             

2) ( a – 3)² =                        

3) ( 2x + 7)² =                            

4) (ax² -by)² =                                                                         

5) (2/3x + 9y)² =      

Factorizar   

1)a² + ab =

 2)b + b² =

 3)x² + x =

 4)3a³ - a² =

 5)x³ - 4x

PRODUCTOS NOTABLES

Es el resultado del producto entre dos expresiones algebraicas cuyas caracteristicas se pueden generalizar a traves de formulas especiales.

1. Cuadrado de una suma: es igual al cuadrado del primer termino, mas doble producto del primero por segundo, mas el cuadrado del segundo termino, es decir, a² + 2ab + b² = (a + b)² 

                                                                              Ejemplo

(x + 3)² = x ² + 2 · x ·3 + 3 ² = x ² + 6 x + 9

2. Cuadrado de una diferencia:  es igual al cuadrado del primer termino, menos doble producto del primero por segundo, mas el cuadrado del segundo termino, es decir, a² - 2ab + b² = (a - b)²

(2x − 3)² = (2x)² − 2 · 2x · 3 + 3 ² = 4x² − 12 x + 9

^{3.Producto de una suma por una diferencia: es igual al cuadrado del primer termino, menos el cuadrado del segundo termino}

(a + b) (a – b) = a² – b²

Ejemplo
(2x + 5) · (2x - 5) = (2 x)² − 5² = 4x²− 25

^{4.Producto de binomio con un termino comun: es igual al cuadrado del primero , mas la suma de los terminos no comunes por el producto del termino comun, mas el producto de los terminos no comunes}

x² + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)

Ejemplo

(x + 2) (x + 3) = x² + (2 + 3)x + 2 · 3= x² + 5x + 6

5. Cubo de una suma: es igual al cubo del primer termino, mas el triple producto del primer termino al cuadrado por el segundo termino, mas el triple producto del segundo al cuadrado por el primer termino, mas el cubo del segundo termino

 a³ + 3a²b + 3ab² + b³ = (a + b)³

Ejemplo

8x³ + 27 = (2x + 3) (4x² - 6x + 9)

6.Cubo de una diferencia:  es igual al cubo del primer termino, menos el triple producto del primer termino al cuadrado por el segundo termino, mas el triple producto del segundo al cuadrado por el primer termino, menos el cubo del segundo termino

 a³ – 3a²b + 3ab² – b³ = (a – b)^3
Ejemplo

8x³ − 27 = (2x − 3) (4x² + 6x + 9)

FACTORIZACION

Es el proceso que transforma un polinomio en una multiplicacion de factores primos. Tambien se puede definir como el proceso de encontrar en dos o mas expresiones cuyo producto sea igual a una expresion dada.

Factorizar un polinomio: consiste en descomponer un polinomio como el producto de dos o mas polinomios llamados factores.

Casos de factorizacion

Caso 1. Factor Comun: es aquel numero, letra o ambos que aparecen en cada uno de los terminos del polinomio

Ejemplo

5x+10=5(x+2) 

Caso 2.  Factorizacion por agrupacion de terminos: cuando todos los terminos de un polinomio no tienen la misma parte literal, se agrupan los terminos que si la tienen y se hallan los respectivos factores comunes

Ejemplo

5x+8x+5y+8y=x(5+8)+y(5+8)=(x+y)(5+8)

Caso 3. Factorizacion de cuadrados perfectos: si dos de sus terminos son cuadrados perfectos; esto se puede escribir en la forma a² y  b²       el termino restante es igual al doble producto de a por b, es decir, a² + 2ab + b² = (a + b)²  o  a² – 2ab + b² = (a – b)²    

Descomponer en factores los trinomio cuadrados perfectos y hallar sus raíces

La raíz es x = −3, y se dice que es una raíz doble.

La raíz es x = 2.

Caso  4. Factorizacion de la diferencia de dos cuadrados: es igual a la suma por la diferencia, esto es si el binomio es a² -  b² , entonces se puede factorizar asi  a² – b²  =(a + b) (a – b) 

Ejemplo

 

 Caso  5. Factorizacion de un trinomio de la forma x² + bx + c: se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el proceso m+n=b y m.n=c

Ejemplo

m+n=-10 y m.n=25 luego m=-5 y n=-5 porque -5-5=-10 y (-5)(-5)=25

Para descomponer en factores el trinomio de segundo grado P(x) = ax² + bx + c , se iguala a cero y se resuelve la ecuación de 2º grado. Si las soluciones a la ecuación son x₁ y x₂, el polinomio descompuesto será:

ax² + bx + c = a · (x − x₁) · (x − x₂)

Descomponer en factores los trinomios de segundo grado y hallar sus raíces

Las raíces son x = 3 y x = 2.

Las raíces son x = 3 y x = − 2.